アリがエサを運ぶ最短ルートを見つけ出す
生態をシミュレーションしたアルゴリズム

現実の問題をグラフとしてモデル化し
条件に合った最適な解を見つける

またグラフ理論やネットワーク理論を使った「組み合わせ最適化問題」も研究テーマの一つ。「組み合わせ最適化問題」には、頂点を枝で結ぶグラフに数値データを付加する「ネットワーク理論」を応用するものが数多くあります。

たとえば、基本的な「ネットワーク理論」の一つである最大流問題は、始点から終点まで最大量を流す組み合わせを求める方法ですが、水や交通、電気や通信などの流れを扱うさまざまなシステムの構築や解析に広く応用できます。

また、頂点や枝を塗り分ける彩色問題の理論を使って、無線通信においてチャネルを効率的に割り当てる方法を導くことも。現実の問題をグラフやネットワークに抽象化して数式化することで、コンピュータで解ける問題にしていくものです。

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全ての頂点を一度だけ訪れるツアーを
最小の移動コストで実現するには

TSPとは、セールスマンがグラフ上の頂点（全ての都市）を一度ずつ巡りながら出発地に戻る際の総移動コストが最小の経路を求める「組み合わせ最適化問題」です。この問題は頂点の数が増えるとスーパーコンピュータを使っても百億年以上かかるほどの計算量を必要とする問題で、数学の世界では「NP困難」と呼ばれるクラスの超難問です。

これは物流やITなどでの効率的なモノや情報の伝達にも活用できます。これまでは変化しない静的グラフを想定して計算していました。しかし、近年では状況が変わりつつあります。例えばSNS上で「バズる」トピックが提供されることがあります。これを更新イベントといいますが、これをきっかけに一気に投稿や閲覧が増加しても、ユーザーSNSを使える状態を維持するには、どのサーバからどのサーバに情報を経由させればいいかを計算しなおす必要があります。時間帯によって経路の混み具合（＝辺の重み）が変わると、ツアー（巡回路）も変える必要があります。

阿部研究室では、グラフが表すものが更新イベントによって時間と共に変化するTEGでのTSPを解き、その計算時間を最小化する試みに取り組んでいます。

４つのアルゴリズムでTSPを検討し
TEGへの実装・適用が可能であると保証

阿部研究室では、TEG上のTSPを解くためのアルゴリズムを提案。計算時間の短縮のためグラフを並列にたどる分散型アルゴリズムのＤ-TSP、計算総量の削減のためにグラフの更新イベントの影響を受けるサブグラフの結果のみを再計算するインクリメンタルアルゴリズムのI-TSP、この２つに、それぞれ途中から最短隣接頂点のみを走査する貪欲法と呼ばれるアルゴリズムを組み合わせたＤg-TSPとIg-TSPの４つでそれぞれ計算を行いました。

その結果、最も良い解（結果）を出すが、最も遅いのがD-TSPで、逆に最速だが最適な解（結果）とは限らないのがDg-TSPとなり、その間に位置するインクリメンタルアルゴリズムのI-TSPとIg-TSPは、TEGに実装・適用が可能だと保証されました。今後はさらに改良を加えて計算時間の短縮をめざします。

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問題が難しいかどうかを証明することが
世の中の問題解決の第一歩になる!?

「組合せ最適化問題」の中には、コンピュータの計算速度が飛躍的に向上しても現実的な時間では解けない問題も存在します。解けない問題ならば、正解でなくても近い答えを得る方法を考えるなど、現実的な対応が取れます。効率の良いアルゴリズムでスパッと解ける問題なら、それを追い求めることになります。

このように、問題が本質的に持っている難しさを明らかにすることは効率の良いアルゴリズム設計の第一歩。問題の本質的難しさを計算困難性と言いますが、上嶋研究室ではその証明とともに、それを活用した暗号技術の基礎研究を行っています。現実的な時間では解けないような難しい問題は、安全性の高い暗号の設計に活用可能なのです。

情報の中身を隠したまま
「情報を知っている」ことだけを相手に納得させる暗号理論

主要な研究テーマの一つは、暗号理論の重要な概念である「ゼロ知識証明」の実現です。

「ゼロ知識証明」とは、パスワードなど秘密情報自体は明かさずに、その情報を知っているという事実を証明するという手法。公開鍵暗号やデジタル署名、ユーザー認証などに応用されている技術です。

上嶋研究室では、計算困難な問題の中から身近なパズルの問題に着目。「ゼロ知識証明」を実現するプロトコルを、コンピュータではなく、トランプカードのような身近なアイテムを使って設計し、アルゴリズムの最適化を探っています。

暗号機能を手軽に目に見える形で表すこのような設計は、暗号プロトコルについてのデモンストレーションや導入教育に活用できることから最近研究が進んでいる分野です。

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テレビの生中継やストリーミング配信　
その鍵を握るのは、エンコード時間の削減

分割パターン決定の高速化と劣化度合いの予測で
速くて、軽くて、美しい動画像をめざす

動画像を効率的に圧縮するには、画像を分割し、動きや模様など画素の特徴量の小さい領域は大きなブロックを、特徴量の大きい領域には小さなブロックを割り当てます。この分割パターン決定に演算時間が多くかかるため、深層学習によりさまざまな選択肢を学習させて決定までの時間を短くしたり（画像1）、ばらつきが少ない分割候補を除外して演算量を削減させることで圧縮を高速化（画像2）。

また、別の手法として、エンコードする際に劣化の度合いを高精度で予測することで、復号画像の劣化予防にも挑んでいます（画像3）。動画像にはテレビ局等放送業界が使うHEVCやVVC、ストリーミング系企業が使うAV1など多様な規格がありますが、これらの研究は動画像規格の改善はもとより、さらに優れた新規格誕生への可能性を秘めています。

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「秘密鍵暗号」と「公開鍵暗号」　
私たちは大きく２方式の暗号で守られている

量子コンピュータの解読を防ぐために
複雑性クラスの高い数学問題を暗号に取り入れる

「秘密鍵暗号」で標準的に使われているのが「AES」で、鍵長（暗号のデータサイズ）が大きく、AES-256bitならスーパーコンピュータで総当たり攻撃をしても数百兆年かかります。

また「公開鍵暗号」で代表的な「RSA暗号」は、解読に膨大な桁数の素因数分解が必要となり、これも天文学的な時間がかかります。いずれも解読にかかる時間が安全性を担保していました。

ところが、量子コンピュータが登場し、実用化されると解読にかかる時間が大幅に短縮される可能性が出てきました。これに備え、さらに計算量が多く効率よく解けない問題を設定する必要があります。これは、数学上最大の未解決問題であるP≠NP予想などにも深く関係しています。

研究室では、量子コンピュータでも解けない「耐量子暗号」を開発するための多様なアプローチを試みています。

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